Scholar Hub/Chủ đề/#phương trình p laplace/
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace. Phương trình p-Laplace được xác định bởi công thức:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇...
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace. Phương trình p-Laplace được xác định bởi công thức:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇ là toán tử gradient của hàm u, |∇u| là độ lớn của gradient, p là một tham số dương. Phương trình p-Laplace đặc trưng cho tính chất phi tuyến và nó xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như vật lý lý thuyết, toán học và các ứng dụng trong xử lý ảnh và nhận dạng hình ảnh.
Phương trình p-Laplace là phương trình đạo hàm riêng bậc hai phi tuyến, nó có dạng:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇ là toán tử gradient của hàm u, ∇u là vector gradient của u, |∇u| là độ lớn của gradient (|∇u| = sqrt((∂u/∂x)^2 + (∂u/∂y)^2 + (∂u/∂z)^2) trong không gian ba chiều), và p là một tham số dương.
Phương trình p-Laplace là một phương trình phi tuyến, nghĩa là nó không phụ thuộc tuyến tính vào hàm u và gradient của nó. Điều này làm cho việc giải phương trình p-Laplace trở nên khó khăn hơn so với phương trình Laplace. Đặc biệt, phương trình p-Laplace có thể có nhiều giải pháp không duy nhất và có thể có tính chất dao động, tức là không tồn tại giải pháp liên tục.
Phương trình p-Laplace xuất hiện trong nhiều vấn đề trong vật lý lý thuyết và toán học. Ví dụ, nó được sử dụng để mô phỏng các hiện tượng chảy chất lưu thông qua chất cứng, tổng quát hóa phương trình Navier-Stokes khi không đáp ứng được cho trường hợp mạnh như trong trường hợp chất lưu phân tử khí, cụ thể là chất lưu có tính chất phi tuyến. Ngoài ra, phương trình p-Laplace cũng được ứng dụng trong xử lý ảnh và nhận dạng hình ảnh để tìm ra biên đối tượng hoặc để làm mờ ảnh theo cách không tuyến tính.
Phương trình p-Laplace là một phương trình đạo hàm riêng bậc hai phi tuyến được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý lý thuyết, kỹ thuật và khoa học máy tính.
Phương trình p-Laplace có dạng:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇ là toán tử gradient, |∇u| là độ dốc của hàm u và ∇u là gradient của hàm u. Tham số p là một số dương.
Phương trình p-Laplace là một phiên bản tổng quát của phương trình Laplace (khi p = 2) và phương trình biến thiên Burgers (khi p = 1). Khi p khác 2, phương trình p-Laplace trở nên phi tuyến và khó giải hơn.
Ví dụ, khi p = 2, phương trình p-Laplace trở thành phương trình Laplace:
∇ · (∇u) = 0,
đây là phương trình cơ bản trong lý thuyết tiếp tục và có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật và toán học.
Khi p > 2, phương trình p-Laplace có thể cho kết quả không duy nhất và có thể có tính chất không liên tục. Điều này làm cho việc nghiên cứu và giải phương trình p-Laplace trở nên khó khăn hơn.
Phương trình p-Laplace được sử dụng trong nhiều ứng dụng thực tế như mô phỏng chảy chất lưu, tối ưu hóa và phân tích hình ảnh. Trong xử lý ảnh, phương trình p-Laplace có thể được sử dụng để giảm nhiễu, phát hiện ranh giới và nâng cao chất lượng hình ảnh.
Đánh giá độ dốc cho các phương trình quasilinear parabol loại p-Laplace đặc biệt với dữ liệu đo lường Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 61 - Trang 1-41 - 2022
Chúng tôi quan tâm đến việc ước lượng độ dốc cho các nghiệm của một lớp phương trình quasilinear parabol đặc biệt với dữ liệu đo lường, có dạng nguyên mẫu được cho bởi phương trình p-Laplace parabol
$$u_t-\Delta _p u=\mu $$
với
$$p\in (1,2)$$
. Trường hợp khi
$$p\in \big (2-\frac{1}{n+1},2\big )$$
đã được nghiên cứu bởi Kuusi và Mingione (Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci 5 12(4):755–822, 2013). Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong Kuusi và Mingione (2013) đến trường hợp mở khi
$$p\in \big (\frac{2n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\big ]$$
nếu
$$n\ge 2$$
và
$$p\in (\frac{5}{4}, \frac{3}{2}]$$
nếu
$$n=1$$
. Cụ thể hơn, trong một khoảng p có tính chất đặc biệt hơn như đã nêu trên, chúng tôi thiết lập các ước lượng độ dốc theo điểm thông qua hạt nhân Riesz parabol tuyến tính và kết quả liên tục độ dốc thông qua một số giả thiết về hạt nhân Riesz parabol.
#độ dốc #phương trình quasilinear #p-Laplace #dữ liệu đo lường #hạt nhân Riesz parabol
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN MARCINKIEWICZ Trong báo cáo này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace với dữ liệu độ đo trong không gian Marcinkiewicz. Ý tưởng chính của chứng minh là dựa vào định lí điểm bất động Schauder cho một ánh xạ liên tục, xác định trên một tập lồi, đóng, có ảnh là tập tiền compact. Để xây dựng ánh xạ thỏa các tính chất này, chúng tôi áp dụng một số đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính với dữ liệu độ đo, được nghiên cứu trong một vài bài báo gần đây.
#nghiệm renormalized #không gian Marcinkiewicz #phương trình p-Laplace
MỘT CHỨNG MINH NGẮN CHO BẤT ĐẲNG THỨC HÀM PHÂN PHỐI TRÊN CÁC TẬP MỨC Tính chính quy nghiệm cho phương trình elliptic tựa tuyến tính là một trong những bài toán đang được nghiên cứu sôi nổi hiện nay bởi nhiều tác giả, bằng nhiều phương pháp khác nhau. Để khảo sát bài toán này, một phương pháp mới được đề xuất gần đây liên quan đến bất đẳng thức hàm phân phối trên các tập mức thông qua toán tử cực đại cấp phân số. Phương pháp này hiệu quả và có thể ứng dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau. Các điều kiện đủ để chứng minh được bất đẳng thức hàm phân phối là điểm mấu chốt để thu được đánh giá Lorentz trong phương pháp này. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một chứng minh ngắn cho bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức, dựa trên một điều kiện đủ chung cho hai điều kiện đủ được đề xuất trong bài báo gần đây (Nguyen, & Tran, 2021a).
#đánh giá gradient #bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức #Không gian Lorentz #phương trình p-Laplace
Sự hội tụ của một sơ đồ số loại phương pháp vòng xoáy trên một bề mặt kín với sự xấp xỉ hình dạng bề mặt Dịch bởi AI Differential Equations - Tập 48 - Trang 1308-1317 - 2012
Chúng tôi xem xét một phương trình tích phân tuyến tính với tích phân siêu phân kỳ được xử lý theo nghĩa giá trị hữu hạn của Hadamard. Phương trình này phát sinh khi giải quyết bài toán biên Neumann cho phương trình Laplace bằng cách sử dụng biểu diễn của nghiệm dưới dạng tiềm năng lớp đôi. Chúng tôi nghiên cứu trường hợp giải quyết một bài toán biên bên ngoài hoặc bên trong trong một miền có biên là một mặt đóng mịn và phương trình tích phân được viết ra trên mặt đó. Để giải quyết số phương trình tích phân, mặt được xấp xỉ bởi các đa giác không gian có đỉnh nằm trên mặt. Chúng tôi xây dựng một sơ đồ số để giải phương trình tích phân dựa trên xấp xỉ mặt như vậy với sự sử dụng các công thức tích phân kiểu phương pháp các điểm rời rạc có điều chỉnh. Chúng tôi chứng minh rằng các nghiệm số hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình tích phân siêu phân kỳ đồng nhất trên lưới.
#phương trình tích phân tuyến tính #tích phân siêu phân kỳ #bài toán biên Neumann #phương trình Laplace #sơ đồ số #xấp xỉ mặt #phương pháp vòng xoáy.
Tính toán ứng suất bề mặt cho các hạt nano và lỗ rỗng trong nhôm, silicon và sắt: ảnh hưởng của áp suất và tính hợp lệ của phương trình Young-Laplace Dịch bởi AI Materials Theory - Tập 5 - Trang 1-18 - 2021
Nghiên cứu này được dành riêng cho việc xác định năng lượng bề mặt và ứng suất của hạt nano và lỗ rỗng trong sự hiện diện của áp suất, và để đánh giá độ chính xác của phương trình Young-Laplace cho các hệ thống này. Các quy trình được đề xuất để trích xuất các đại lượng đó từ các tính toán tiềm năng liên nguyên tử cổ điển, được thực hiện cho ba vật liệu khác nhau: nhôm, silicon và sắt. Các cuộc điều tra của chúng tôi trước tiên tiết lộ sự gia tăng năng lượng bề mặt và ứng suất của hạt nano như một hàm của áp suất. Ngược lại, chúng tôi tìm thấy sự giảm đáng kể đối với các lỗ rỗng, điều này có thể liên quan đến việc khởi phát biến dạng dẻo ở áp suất cao. Chúng tôi chỉ ra rằng phương trình Young-Laplace không nên được sử dụng cho các dự đoán định lượng khi áp suất Laplace được tính toán với một giá trị năng lượng bề mặt không đổi, như thường thấy trong tài liệu. Thay vào đó, một sự cải tiến đáng kể được thu được bằng cách sử dụng ứng suất bề mặt phụ thuộc vào đường kính và áp suất. Trong trường hợp đó, phương trình Young-Laplace có thể được sử dụng với độ chính xác hợp lý ở áp suất thấp cho các hạt nano có đường kính nhỏ tới 4 nm, và 2 nm cho các lỗ rỗng. Ở kích thước nhỏ hơn, hoặc áp suất cao, một yếu tố hạn chế nghiêm trọng là thách thức trong việc trích xuất các giá trị ứng suất bề mặt có ý nghĩa.
#ứng suất bề mặt #hạt nano #lỗ rỗng #nhôm #silicon #sắt #phương trình Young-Laplace #năng lượng bề mặt #áp suất
Sự tồn tại của vô số nghiệm cho phương trình (p, q)-Laplace Dịch bởi AI Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA - Tập 23 - Trang 1-23 - 2016
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu phương trình (p, q)-Laplace trong một miền hữu hạn dưới điều kiện biên Dirichlet. Chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ cho hạng tử phi tuyến để tồn tại một dãy nghiệm hội tụ về không hoặc đi đến vô cùng. Hơn nữa, chúng tôi cung cấp các ước lượng trước cho các norm C
1 của các nghiệm dưới một điều kiện thích hợp đối với hạng tử phi tuyến.
#(p #q)-Laplace; nghiệm; điều kiện biên Dirichlet; hạng tử phi tuyến; ước lượng trước.
HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC p-LAPLACE Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát hiện tượng bùng nổ của nghiệm phương trình Parabolic p-Laplace. Dựa vào bất đẳng thức Hardy, chúng tôi tìm ra điều kiện để nghiệm của phương trình Parabolic p-Laplace bùng nổ tại thời điểm hữu hạn. Hơn nữa, chúng tôi ước lượng chặn trên và chặn dưới cho thời điểm bùng nổ. Những kết quả này được phát triển từ bài toán của Han vào năm 2018 (Y. Han, 2018) và giải quyết một số vấn đề mở của Liu vào năm 2016 (Y. Liu, 2016). Từ khóa : Hiện tượng bùng nổ, thời điểm bùng nổ.
Phương pháp phân tích tối ưu Laplace để giải các hệ phương trình vi phân riêng phần bậc phân số Dịch bởi AI International Journal of Applied and Computational Mathematics - Tập 8 - Trang 1-18 - 2022
Trong bài báo này, một kỹ thuật lai mới mang tên phương pháp phân tích tối ưu Laplace (LODM) đã được đề xuất để xây dựng nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình vi phân riêng phần bậc phân số (FPDEs) với đạo hàm phân số theo nghĩa Caputo. LODM là sự kết hợp giữa biến đổi Laplace và phương pháp phân tích tối ưu. Kỹ thuật này dựa trên xấp xỉ tuyến tính của hệ phương trình FPDEs phi tuyến. Các ví dụ số được trình bày để chứng minh độ chính xác và độ tin cậy của LODM đối với một lớp các bài toán phi tuyến. Hơn nữa, các kết quả cho thấy sự nhất quán mạnh mẽ giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác.
#phương pháp phân tích tối ưu Laplace; phương trình vi phân riêng phần bậc phân số; đạo hàm phân số; biến đổi Laplace; xấp xỉ tuyến tính
Các thuộc tính giá trị trung bình tiệm cận cho các phương trình elliptic và parabolic có hai pha Dịch bởi AI Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA - Tập 30 - Trang 1-21 - 2023
Chúng tôi đặc trưng hóa một công thức giá trị trung bình tiệm cận theo nghĩa độ nhớt cho phương trình elliptic hai pha
$$\begin{aligned} -{\textrm{div}}(|\nabla u |^{p-2}\nabla u+ a(x)|\nabla u |^{q-2}\nabla u)=0 \end{aligned}$$
và phương trình parabol hai pha đã chuẩn hóa
$$\begin{aligned} u_t=|\nabla u |^{2-p}{\textrm{div}}(|\nabla u |^{p-2}\nabla u+ a(x,t)|\nabla u |^{q-2}\nabla u), \quad 1
#phương trình elliptic #phương trình parabolic #giá trị trung bình tiệm cận #độ nhớt #phương trình p-Laplace #phương trình p(x)-Laplace
Giải pháp Cơ bản Thứ Nhất và Thứ Hai của Phương Trình Điện Báo Phân Đoạn Thời Gian với Các Toán Tử Laplace hoặc Dirac Dịch bởi AI Advances in Applied Clifford Algebras - Tập 28 - Trang 1-14 - 2018
Trong công trình này, chúng tôi thu được các giải pháp cơ bản thứ nhất và thứ hai (FS) của phương trình phân đoạn thời gian đa chiều với các toán tử Laplace hoặc Dirac, trong đó hai đạo hàm phân đoạn thời gian có bậc $$\alpha \in ]0,1]$$ và $$\beta \in ]1,2]$$ được hiểu theo nghĩa Caputo. Chúng tôi thu được các biểu diễn của FS dưới dạng biến đổi Hankel, tích phân đôi Mellin-Barnes, và H-functions của hai biến. Là một ứng dụng, các FS được sử dụng để giải quyết các bài toán Cauchy kiểu Laplace và Dirac.
