Scholar Hub/Chủ đề/#phương trình p laplace/
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace. Phương trình p-Laplace được xác định bởi công thức:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇...
Phương trình p-Laplace là một dạng tổng quát của phương trình Laplace. Phương trình p-Laplace được xác định bởi công thức:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇ là toán tử gradient của hàm u, |∇u| là độ lớn của gradient, p là một tham số dương. Phương trình p-Laplace đặc trưng cho tính chất phi tuyến và nó xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như vật lý lý thuyết, toán học và các ứng dụng trong xử lý ảnh và nhận dạng hình ảnh.
Phương trình p-Laplace là phương trình đạo hàm riêng bậc hai phi tuyến, nó có dạng:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇ là toán tử gradient của hàm u, ∇u là vector gradient của u, |∇u| là độ lớn của gradient (|∇u| = sqrt((∂u/∂x)^2 + (∂u/∂y)^2 + (∂u/∂z)^2) trong không gian ba chiều), và p là một tham số dương.
Phương trình p-Laplace là một phương trình phi tuyến, nghĩa là nó không phụ thuộc tuyến tính vào hàm u và gradient của nó. Điều này làm cho việc giải phương trình p-Laplace trở nên khó khăn hơn so với phương trình Laplace. Đặc biệt, phương trình p-Laplace có thể có nhiều giải pháp không duy nhất và có thể có tính chất dao động, tức là không tồn tại giải pháp liên tục.
Phương trình p-Laplace xuất hiện trong nhiều vấn đề trong vật lý lý thuyết và toán học. Ví dụ, nó được sử dụng để mô phỏng các hiện tượng chảy chất lưu thông qua chất cứng, tổng quát hóa phương trình Navier-Stokes khi không đáp ứng được cho trường hợp mạnh như trong trường hợp chất lưu phân tử khí, cụ thể là chất lưu có tính chất phi tuyến. Ngoài ra, phương trình p-Laplace cũng được ứng dụng trong xử lý ảnh và nhận dạng hình ảnh để tìm ra biên đối tượng hoặc để làm mờ ảnh theo cách không tuyến tính.
Phương trình p-Laplace là một phương trình đạo hàm riêng bậc hai phi tuyến được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý lý thuyết, kỹ thuật và khoa học máy tính.
Phương trình p-Laplace có dạng:
∇ · (|∇u|^(p-2) ∇u) = 0,
trong đó ∇ là toán tử gradient, |∇u| là độ dốc của hàm u và ∇u là gradient của hàm u. Tham số p là một số dương.
Phương trình p-Laplace là một phiên bản tổng quát của phương trình Laplace (khi p = 2) và phương trình biến thiên Burgers (khi p = 1). Khi p khác 2, phương trình p-Laplace trở nên phi tuyến và khó giải hơn.
Ví dụ, khi p = 2, phương trình p-Laplace trở thành phương trình Laplace:
∇ · (∇u) = 0,
đây là phương trình cơ bản trong lý thuyết tiếp tục và có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật và toán học.
Khi p > 2, phương trình p-Laplace có thể cho kết quả không duy nhất và có thể có tính chất không liên tục. Điều này làm cho việc nghiên cứu và giải phương trình p-Laplace trở nên khó khăn hơn.
Phương trình p-Laplace được sử dụng trong nhiều ứng dụng thực tế như mô phỏng chảy chất lưu, tối ưu hóa và phân tích hình ảnh. Trong xử lý ảnh, phương trình p-Laplace có thể được sử dụng để giảm nhiễu, phát hiện ranh giới và nâng cao chất lượng hình ảnh.
Đánh giá độ dốc cho các phương trình quasilinear parabol loại p-Laplace đặc biệt với dữ liệu đo lường Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 61 - Trang 1-41 - 2022
Chúng tôi quan tâm đến việc ước lượng độ dốc cho các nghiệm của một lớp phương trình quasilinear parabol đặc biệt với dữ liệu đo lường, có dạng nguyên mẫu được cho bởi phương trình p-Laplace parabol
$$u_t-\Delta _p u=\mu $$
với
$$p\in (1,2)$$
. Trường hợp khi
$$p\in \big (2-\frac{1}{n+1},2\big )$$
đã được nghiên cứu bởi Kuusi và Mingione (Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci 5 12(4):755–822, 2013). Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong Kuusi và Mingione (2013) đến trường hợp mở khi
$$p\in \big (\frac{2n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\big ]$$
nếu
$$n\ge 2$$
và
$$p\in (\frac{5}{4}, \frac{3}{2}]$$
nếu
$$n=1$$
. Cụ thể hơn, trong một khoảng p có tính chất đặc biệt hơn như đã nêu trên, chúng tôi thiết lập các ước lượng độ dốc theo điểm thông qua hạt nhân Riesz parabol tuyến tính và kết quả liên tục độ dốc thông qua một số giả thiết về hạt nhân Riesz parabol.
#độ dốc #phương trình quasilinear #p-Laplace #dữ liệu đo lường #hạt nhân Riesz parabol
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN MARCINKIEWICZ Trong báo cáo này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace với dữ liệu độ đo trong không gian Marcinkiewicz. Ý tưởng chính của chứng minh là dựa vào định lí điểm bất động Schauder cho một ánh xạ liên tục, xác định trên một tập lồi, đóng, có ảnh là tập tiền compact. Để xây dựng ánh xạ thỏa các tính chất này, chúng tôi áp dụng một số đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính với dữ liệu độ đo, được nghiên cứu trong một vài bài báo gần đây.
#nghiệm renormalized #không gian Marcinkiewicz #phương trình p-Laplace
MỘT CHỨNG MINH NGẮN CHO BẤT ĐẲNG THỨC HÀM PHÂN PHỐI TRÊN CÁC TẬP MỨC Tính chính quy nghiệm cho phương trình elliptic tựa tuyến tính là một trong những bài toán đang được nghiên cứu sôi nổi hiện nay bởi nhiều tác giả, bằng nhiều phương pháp khác nhau. Để khảo sát bài toán này, một phương pháp mới được đề xuất gần đây liên quan đến bất đẳng thức hàm phân phối trên các tập mức thông qua toán tử cực đại cấp phân số. Phương pháp này hiệu quả và có thể ứng dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau. Các điều kiện đủ để chứng minh được bất đẳng thức hàm phân phối là điểm mấu chốt để thu được đánh giá Lorentz trong phương pháp này. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một chứng minh ngắn cho bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức, dựa trên một điều kiện đủ chung cho hai điều kiện đủ được đề xuất trong bài báo gần đây (Nguyen, & Tran, 2021a).
#đánh giá gradient #bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức #Không gian Lorentz #phương trình p-Laplace
Giải quyết các phương trình của chụp ảnh tomografi có điều kiện Dịch bởi AI Proceedings IEEE International Symposium on Biomedical Imaging - - Trang 653-656
Việc hoãn lại quá trình phân rã có thể đôi khi thay đổi cách nhìn của chúng ta về các vấn đề hình ảnh. Để minh họa, chúng tôi cung cấp một cách tiếp cận lại đối với chụp ảnh tomografi có điều kiện (CT) trong đó hệ phương trình lớn liên thông cho hình ảnh mượt mà chưa biết được tách thành nhiều phương trình nhỏ hơn và đơn giản hơn, mỗi phương trình cho một phép chiếu riêng biệt. Do đó, CT có điều kiện trở thành một quá trình hai giai đoạn của việc làm mượt (không đồng nhất) các phép chiếu, tiếp theo là phép chiếu ngược đã được lọc. Như một sản phẩm phụ, các phép chiếu tiến và ngược thường thấy trong tái cấu trúc hình ảnh lặp lại sẽ được loại bỏ. Mặc dù việc đơn giản hóa tính toán, chúng tôi chỉ ra rằng phương pháp này có thể được sử dụng để giảm thiểu các hiện tượng nhiễu kim loại trong hình ảnh CT X-quang. Việc tách rời các phương trình là kết quả của việc hoãn lại quá trình phân rã các đạo hàm hình ảnh thực hiện ràng buộc mượt mà, cho phép ràng buộc này được "chuyển" một cách phân tích từ miền hình ảnh sang miền phép chiếu, hay miền Radon. Phân tích của chúng tôi do đó làm sáng tỏ vai trò của độ mượt mà của hình ảnh: đó là một ràng buộc hoàn toàn nội tại trong phép chiếu.
#Computed tomography #X-ray imaging #Robot kinematics #Medical robotics #Image analysis #Background noise #Laplace equations #Biomedical imaging #Information technology #Smoothing methods
Các thuộc tính giá trị trung bình tiệm cận cho các phương trình elliptic và parabolic có hai pha Dịch bởi AI Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA - Tập 30 - Trang 1-21 - 2023
Chúng tôi đặc trưng hóa một công thức giá trị trung bình tiệm cận theo nghĩa độ nhớt cho phương trình elliptic hai pha
$$\begin{aligned} -{\textrm{div}}(|\nabla u |^{p-2}\nabla u+ a(x)|\nabla u |^{q-2}\nabla u)=0 \end{aligned}$$
và phương trình parabol hai pha đã chuẩn hóa
$$\begin{aligned} u_t=|\nabla u |^{2-p}{\textrm{div}}(|\nabla u |^{p-2}\nabla u+ a(x,t)|\nabla u |^{q-2}\nabla u), \quad 1
#phương trình elliptic #phương trình parabolic #giá trị trung bình tiệm cận #độ nhớt #phương trình p-Laplace #phương trình p(x)-Laplace
Giải pháp Cơ bản Thứ Nhất và Thứ Hai của Phương Trình Điện Báo Phân Đoạn Thời Gian với Các Toán Tử Laplace hoặc Dirac Dịch bởi AI Advances in Applied Clifford Algebras - Tập 28 - Trang 1-14 - 2018
Trong công trình này, chúng tôi thu được các giải pháp cơ bản thứ nhất và thứ hai (FS) của phương trình phân đoạn thời gian đa chiều với các toán tử Laplace hoặc Dirac, trong đó hai đạo hàm phân đoạn thời gian có bậc $$\alpha \in ]0,1]$$ và $$\beta \in ]1,2]$$ được hiểu theo nghĩa Caputo. Chúng tôi thu được các biểu diễn của FS dưới dạng biến đổi Hankel, tích phân đôi Mellin-Barnes, và H-functions của hai biến. Là một ứng dụng, các FS được sử dụng để giải quyết các bài toán Cauchy kiểu Laplace và Dirac.
MỘT ĐÁNH GIÁ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ CHO PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE DỮ LIỆU ĐỘ ĐO VỚI P GẦN 1 Phương trình p-Laplace là một trong các phương trình được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Đây là phương trình có nhiều ứng dụng trong vật lí và các ngành khoa học khác. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một kết quả đánh giá gradient trong không gian Lorentz cho nghiệm renormalized của phương trình p-Laplace dữ liệu độ đo trên miền Reifenberg với giá trị p gần 1. Để chứng minh kết quả chính, chúng tôi sử dụng kĩ thuật good-λ được nghiên cứu trong nhiều bài báo gần đây. Cụ thể, chúng tôi kế thừa các kết quả về bất đẳng thức Hölder ngược và đánh giá so sánh giữa nghiệm của bài toán ban đầu và nghiệm của bài toán thuần nhất trong bài báo (Tran, & Nguyen, 2019c) để chứng minh bất đẳng thức gọi là good-λ. Đặc biệt, chúng tôi xét giả thiết bài toán trên miền Reifenberg để thu được đánh giá tốt hơn trong bài báo (Tran, & Nguyen, 2019c).
#không gian Lorentz #dữ liệu độ đo #phương trình p-Laplace #miền Reifenberg
KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG p-LAPLACE CHỨA SỐ HẠNG SCHRÖDINGER VỚI P>=N Phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học. Tính chính quy nghiệm của phương trình này được nghiên cứu gần đây trên các không gian hàm khác nhau. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các kết quả về tính chính quy nghiệm trong không gian Lorentz cho phương trình p-Laplace chứa số hạng Schrödinger trong trường hợp . Phương pháp của chúng tôi là xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối trên tập mức của các đại lượng liên quan đến gradient của nghiệm và hàm dữ liệu, dưới tác động của các toán tử cực đại cấp phân số. Đây là phương pháp được phát triển và sử dụng hiệu quả trong một số bài báo gần đây.
#tính chính quy nghiệm #toán tử cực đại cấp phân số #Không gian Lorentz #phương trình p-Laplace #đánh giá gradient
HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC p-LAPLACE Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát hiện tượng bùng nổ của nghiệm phương trình Parabolic p-Laplace. Dựa vào bất đẳng thức Hardy, chúng tôi tìm ra điều kiện để nghiệm của phương trình Parabolic p-Laplace bùng nổ tại thời điểm hữu hạn. Hơn nữa, chúng tôi ước lượng chặn trên và chặn dưới cho thời điểm bùng nổ. Những kết quả này được phát triển từ bài toán của Han vào năm 2018 (Y. Han, 2018) và giải quyết một số vấn đề mở của Liu vào năm 2016 (Y. Liu, 2016). Từ khóa : Hiện tượng bùng nổ, thời điểm bùng nổ.
